Formation en ligne a Scilab - HEC Paris 11 mars 2014 SIMULATION DE LOIS I - PREMIERS PAS : SIMULATIONS CLASSIQUES ET REPRESENTATIONS SCILAB A. Quelques remarques g en erales Soit \((U_n)_{n\geq 1}\) une suite de variables i.i.d. (Y i,U i) avec Y 1 et U 1 . Trouvé à l'intérieur – Page 3226.4 Loi des grands nombres, théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424 26.4.1 Loi des grands nombres . ... 1436 26.5.9 Loi normale ... 1451 26.7.4 Méthode du rejet . Cette règle peut nous amener à . de probabilités sur les lois normales. Page 3 sur 14 c) Application : méthodes de Monté Carlo . Activité 4 : Simulation de la loi normale par la méthode de Box Mueller La méthode repose sur le résultat suivant. fonction densité de la loi normale standard N(0;1). . L'idée étant que g est la densité d'une variable aléatoire que vous savez déjà simuler. Il existe une ou deux limites de tolérance permettant de classer chaque individu en conforme ou non conforme. 1. TP n˚2 : Autour de la loi Normale MDI 114 12-13 Mars 2019 Objectifs Ce TP propose une étude par simulation des lois normales (ou Valider l'algorithme à l'aide d'un outil graphique. Le test de Lilliefors, réservé à vérifier l'adéquation de la distribution de à la loi normale, permet alors de pallier à cet effet en se basant directement sur l'estimation des paramètres. Trouvé à l'intérieur – Page 590... (variable aléatoire sans) 245 Mendel 164 Méthode – de rejet 514 – de la transformation inverse 512 – probabiliste 107 ... ergodique 490 Log-normale (loi) 269 Lois particulières: voir sous leur nom spécifique Lois de De Morgan 31 Loi ... Simulation des lois de probabilités continues et discrètes avec utilisation d'Excel. Obtenir son histogramme, et ompcarer avec les probabilités théoriques (utiliser dbinom ). Trouvé à l'intérieur – Page 662 - le tirage des Vil2h , grâce à la méthode d'acceptation - rejet décrite précédemment . Une fois déterminés à l'issue de la première étape les estimateurs ( B2 , Ť2 , Û2 ) , on effectue des tirages indépendants dans une loi normale ... <> Méthode de rejet 14 2.6. Utiliser la méthode dâinversion vue en cours, superposer la densité théorique et un estimateur de la densité. TP 5 : Simulations de lois continues par des m´ethodes de rejet et de d´ecomposition 1 M´ethodes de rejet Soit X une variable al´eatoire `a valeurs dans R2 simul´ee par un algorithme A utilisant la fonction Random. La moyenne des N valeurs de f(X) est une valeur approchée de la va- Même question avec les fonctions dédiées rexp et dexp sous R. Comparer les durées respectives des méthodes des questions précédentes pour \(n\) très grand. Quelles valeurs peut prendre \(X\) ? Rappel R. dnorm, pnorm et qnorm correspondent respectivement à la densité, à la fonction de répartion et à la fonction quantile d'une loi normale. Exercice 2.4 Écrire un code Matlab simulant une loi Gamma de paramètre a > 0 quelconque donnée par la densité : fa(t) = 1 G(a) ta 1e tc t>0 en utilisant l'algorithme précédent et la loi de Weibull de paramètre a de densité g donnée par : g(t) = ata 1e at . ---
title: "TD2 : Quelques lois classiques"
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date: "Mars 2021"
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## I. Durée d'une simulation
1. On veut générer $n=1000$ variables exponentielles de paramètre 1. Utiliser la méthode d'inversion vue en cours, superposer la densité théorique et un estimateur de la densité.

2. Même question avec les fonctions dédiées **rexp** et **dexp** sous R.


3. Comparer les durées respectives des méthodes des questions précédentes pour $n$ très grand.




## II. Lien géométrique/exponentielle
Soit $0<p<1$ et $X$ une variable aléatoire suivant une loi géométrique ${\cal G}(p)$. 

1. Rappeler les valeurs prises par $X$, les probabilités associées et l'espérance de $X$. Soit $(B_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables i.i.d. selon une loi de Bernoulli ${\cal B}(p)$. Comment obtenir une loi géométrique ${\cal G}(p)$ à partir de celles-ci ?

2. Proposer un moyen de simuler $B_1$ à partir d'une variable uniforme $U_1$ sur $[0,1]$. En déduire une simulation de $X$ à partir de lois uniformes pour $p=1/3$. Retrouver par simulation l'espérance de la loi géométrique. Que se passe-t-il lorsque $p$ est proche de 0 ?


3. Soit $\lambda>0$ et $T$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle ${\cal E}(\lambda)$. Soit $X=\lceil T\rceil$ la partie entière par excès de $T$ (i.e. $\lceil 0.4\rceil =1$ et $\lceil 2\rceil =2$). Quelles valeurs peut prendre $X$ ? Avec quelles probabilités ? En déduire un nouveau moyen de générer une loi géométrique ${\cal G}(p)$. Comparer la vitesse de cette méthode à celle proposée précédemment (via les Bernoulli) ainsi qu'à **rgeom**. Que constatez-vous ?

4. Que donne la méthode d'inversion ?


## III. Nul n'est censé ignorer la loi normale
1. Comment simuler une loi de Laplace de paramètre 1 ? Utiliser la méthode de rejet vue en TD1 pour simuler une loi normale centrée réduite à partir d'une loi de Laplace de paramètre 1. Estimer le temps nécessaire pour simuler $n=10^5$  gaussiennes avec cette méthode. 

2. Comparer cette méthode à celle de Box-Muller. Comparer Box-Muller à **rnorm** pour $n$ très grand.

3. Simuler et représenter $n=1000$ réalisations d'une loi normale multivariée ${\cal N}(m,\Gamma)$ avec
$$m=\left[\begin{array}{l}
2\\
1\end{array}\right]\hspace{1cm}\mbox{et}\hspace{1cm}\Gamma=\left[\begin{array}{ll}
1&1\\
1&4\end{array}\right].$$
Retrouver approximativement $m$ et $\Gamma$ à partir de cet échantillon.


## IV. Méfiez-vous des mélanges !
On considère une variable $X$ de densité 
$$f(x)=\frac{1}{6\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x+3)^2}{8}}+\frac{2}{3\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-3)^2}{2}}.$$

1. Représenter la fonction $f$.

2. En voyant $f$ comme un mélange de lois, proposer une méthode de simulation de $X$.

3. Simuler $n=10^4$ réalisations de $X$ et représenter sur un même graphique un estimateur de la densité pour cet échantillon et la vraie densité $f$.

## V. Mouvement brownien, pont brownien
En dimension 1, un mouvement brownien standard ou processus de Wiener $(W_t)_{t\geq 0}$ peut être caractérisé par : $W_0=0$, les trajectoires de $t\mapsto W_t$ sont presque sûrement continues, $W_t$ est à incréments indépendants avec, pour tout $0\leq s\leq t$, $W_t-W_s\sim{\cal N}(0,t-s)$. 

1. On veut simuler de façon approchée un mouvement brownien entre les dates $t=0$ et $t=1$. Simuler $n=100$ variables gaussiennes et en déduire des réalisations de $W_{t}$ pour $t\in\{1/100,\dots,99/100,1\}$ (on pourra utiliser la fonction **cumsum**). Représenter la trajectoire avec en abscisse le temps et en ordonnée $W_t$, les points $(t,W_t)$ étant reliés par des segments. Idem avec $n=10^4$.

2. En dimension 2, un processus $(W_t)_{t\geq 0}=(W_t^x,W_t^y)_{t\geq 0}$ est un mouvement brownien standard si $(W_t^x)_{t\geq 0}$ et $(W_t^y)_{t\geq 0}$ sont deux mouvements browniens standards indépendants. Simuler et représenter une trajectoire $(W_t)_{0\leq t\leq 1}$ à partir de $n=100$ points. Idem avec $n=10^4$ points. Marquer l'origine d'un point rouge.

3. On revient en dimension 1 et on considère un mouvement brownien $(W_t)_{t\geq 0}$. Le processus $(B_t)_{t\geq 0}$ défini par $B_t=W_t-tW_1$ est appelé pont brownien. Utiliser ce qui précède pour représenter des trajectoires d'un pont brownien.

4. Soit $(U_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables i.i.d. uniformes sur $[0,1]$, $(F_n)_{n\geq 1}$ la suite des fonctions de répartition empirique et $\|F_n-F\|_\infty$ la distance du sup entre $F_n$ et la fonction de répartition $F$ de la loi uniforme. Le théorème de Kolmogorov-Smirnov dit que, en notant $(B_t)_{t\geq 0}$ un pont brownien, 
$$\sqrt{n}\|F_n-F\|_\infty\xrightarrow[n\to\infty]{\cal L}\sup_{0\leq t\leq 1}|B_t|.$$
La loi de droite est appelée loi de Kolmogorov-Smirnov.

(a) Pour $n=100$, représenter la fonction de répartition empirique
$$F_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{]-\infty,x]}(U_i)=\sum_{j=1}^n \frac{j}{n}\mathbf{1}_{[U_{(j,n)},U_{(j+1,n)}[}(x),$$
où $U_{(1,n)}<\dots<U_{(n,n)}$ est le $n$-ème échantillon ordonné et $U_{(n+1,n)}=+\infty$. En déduire la représentation de $\sqrt{n}(F_n(x)-F(x))$ sur $[0,1]$ pour $n=100$, puis pour $n=10^4$. 

(b) Fixons $n=100$. En tenant compte du fait que
$$\|F_n-F\|_\infty=\max_{1\leq j\leq n}\left\{\max\left(\left|U_{(j,n)}-\frac{j-1}{n}\right|,\left|U_{(j,n)}-\frac{j}{n}\right|\right)\right\},$$ 
construire un échantillon de taille 1000 selon la loi $\sqrt{n}\|F_n-F\|_\infty$. Sur un même graphique, représenter un estimateur de la densité de cet échantillon et un estimateur de la densité d'un échantillon de taille 1000 de la loi de $\sup_{0\leq t\leq 1}|B_t|$.



## VI. Représentation et simulation de copules

1. On veut simuler deux nuages de 1000 points dont chaque marge suit une loi gaussienne centrée réduite. Sur la même fenêtre graphique, représenter à gauche un tel échantillon pour la copule gaussienne de paramètre $\rho=1/2$, et à droite pour la copule de Clayton.

2. On veut simuler deux nuages de 1000 points dont chaque marge suit une loi de Laplace. Sur la même fenêtre graphique, représenter à gauche un tel échantillon pour la copule gaussienne de paramètre $\rho=1/2$, et à droite pour la copule indépendante.



, \[m=\left[\begin{array}{l} Retrouvez ici les étapes clés pour étudier la loi normale avec les calculatrices Graph 90+E et Graph 35+E II. 2\\ Exercice 1 Deux groupes de 10 étudiants ayant suivi une formation di érente ont subi le même examen. �;���A5��e�g�-k�]������_J�K)�U�ǻg-?p =�4�jk6?���cP)�9�Ws@:N�o�4=X-��k���2g8lG Que constatez-vous ? La sortie de l'algorithme Repeter A Jusqu'a (E realise) a pour loi µ qui est la loi conditionnelle de X sachant E. Cette loi est d´efinie par . Deux informations importantes à ne pas perdre de vue : 1) 2) La loi normale inverse ne fonctionne que lorsqu'on cherche k tel que P(X < k ) = valeur donnée . En particulier, on peut utiliser la loi normale centrée réduite. Comparaison des méthodes 4.6.3. On s'intéresse ici à la méthode du khi-2. Trouvé à l'intérieur – Page 45Finalement, on est donc conduit à admettre que la distribution des résultats d'analyse xi devrait suivre une loi normale, ... fait l'analyse fonctionnelle d'une méthode d'analyse, comme dans l'exemple du chapitre 5 (paragraphe 5.1). 14. En effet soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées à valeurs dans Rd et D ⊂ Rd , tels que P (X1 ∈ D > 0. a, c'est un paramètre que nous ajustons dans le programme, il . 1.Demande en entrée les paramètres de la loi. Nouveau!! La dispersion des valeurs observées d'un même caractère gaussien est représenté par un écart type . Voir aussi Contre - rejet poésie Méthode de rejet statistique Rejets de CO2 s agit d une méthode de rejet et peut être choisie pour simuler une variable aléatoire ayant une densité strictement monotone. On veut simuler deux nuages de 1000 points dont chaque marge suit une loi de Laplace. Avec quelles probabilités ? Trouvé à l'intérieur – Page 84Sous cette hypothèse, l'estimateur des MCO suit une loi normale et l'estimateur de la variance des erreurs suit une loi du χ2(N − K − 1); ces deux estimateurs sont indépendants. ▷ Pour toute composante k du vecteur de paramètres ... Il traite ensuite des problèmes de simulation (simulation de la loi uniforme, méthode d'inversion, fonction de répartition, méthode de rejet, lois gaussiennes) et réductions de variance (variables antithétiques, de contrôle, échantillonnage). Page 4 sur 14. monte carlo mthode de rejet ISUP CS1 Simulation et R TP 2 : Simulation de variables aléatoires Exercice 1 - Simulation de lois de Bernoulli et de lois binomiales Rappel . Théorème 1.1. ��X���:��EE3�2sBZ�el:z�w��`-5�F�����q�D�]�Dh��$Rm��?19��L�s�^%�������8^�)�q\�uB��0o���ڱ���2C��]2������=����l����:@����;z资"�peMK�O�H��O#ق� 2�x}��캉Yӽ��/�� �(|$O������^�:�������@x2�Pq�ȍ�hf��� 0�l��zr�m�%&t\�����`�����8~0��N�F� ;N6Y�'|�0�ǻ���Nv0�\����F�oGD="����(��\4@+��`�#/c��Yte�*�����ވ� La méthode de rejet est utilisée pour engendrer indirectement une variable aléatoire X {\displaystyle X}, de densité de probabilité f, {\displaystyle f,} lorsquon ne sait pas simuler directement la loi de densité de probabilité f {\displaystyle f} cest le cas par exemple si f {\displaystyle f} nest pas une densité classique, mais aussi pour la loi de Gauss. résultat qui a moins de 5 chances sur 100 d'arriver sous H 0. Loi Normale Comme nous l'avons vu la derniere fois, la loi normale` N(0;1) de densite . Marquer lâorigine dâun point rouge. L . Écrire une fonction BM(n)qui retourne n réalisations de la loi normale N (0,1) par la version carté-sienne de la méthode de Box-Muller. Sur la même fenêtre graphique, représenter à gauche un tel échantillon pour la copule gaussienne de paramètre \(\rho=1/2\), et à droite pour la copule indépendante. L'annexe 6 fournit des éléments de justification à propos de la notion de différence significative et du critère de disjonction des intervalles de confiance présenté dans le programme de la filière STI2D- STL. LOIS À DENSITÉ • Par la méthode de l'espérance: On choisit au hasard N valeurs de l'abscisse X d'un point M dans [0;1]. possible pour minimiser le nombre de rejets: plus la majoration est grossi ere, plus il faut de tirages pour obtenir une valeur acceptable. Le calcul du khi-2 permet de tester l'hypothèse d'adéquation à la loi normale en . 1. Cette méthode peut aussi être appliquée à des lois symétriques unimodales telles que la loi normale en choisissant un point sur l'une des moitiés et en . View TP2-MDI114.pdf from MANAGEMENT 123 at Télécom Paris. suivant cette loi par la méthode de rejet (à savoir où est une ddp connue et simulable et une constante, cf. Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Ces éléments n'ont pas . On regroupe éventuellement certains intervalles à chaque extrémité pour n'avoir que des effectifs supérieurs ou égaux à 5. Valeur de p > α : vous n'êtes pas en mesure de conclure que les données ne suivent pas une loi normale (impossible de rejeter H 0) Si la valeur de p est supérieure au seuil de signification, vous n'êtes pas en mesure de conclure que les données ne suivent pas une loi normale. 3 La méthode du rejet. uniformes sur \([0,1]\), \((F_n)_{n\geq 1}\) la suite des fonctions de répartition empirique et \(\|F_n-F\|_\infty\) la distance du sup entre \(F_n\) et la fonction de répartition \(F\) de la loi uniforme. Retrouver par simulation lâespérance de la loi géométrique. loi géométrique est sur N au lieu de N et le deuxième paramètre de la loi normale est son écart-type, pas sa ariance!v 2. %�쏢 Utiliser la méthode de rejet vue en TD1 pour simuler une loi normale centrée réduite à partir d'une loi de Laplace de paramètre 1. En tenant compte du fait que \[\|F_n-F\|_\infty=\max_{1\leq j\leq n}\left\{\max\left(\left|U_{(j,n)}-\frac{j-1}{n}\right|,\left|U_{(j,n)}-\frac{j}{n}\right|\right)\right\},\] construire un échantillon de taille 1000 selon la loi \(\sqrt{n}\|F_n-F\|_\infty\). ݳXmQ���Xmhf��u3|�+�$x��Je���c,�z4V���2�=[�_$z�@��]�UyVh0��2Fc��q��Mct���}�&yC��y� ���#x�@�I��D�h�2����%�"��cN�eu�:s�h�+qAv��n�q��� 'G��%HM"l �XQh脋���5�5�*$*����3���S�&�����H4g�a� P��I&j�d�V���^G���d6h:3r4�>��$&K�{��E�]�dI�f���h����ۑ:O����6�`v�~��y.IĈ�ť&.��"ٮ��T����I��@ �h �=?J��ȼ����a�"��|F`�~��c5Y�s���bl���!c�PQ���Z6.+��Z�+IH# ��By�p`XdC���\�$Q�=P�z��&�D�3�}w�zCH$U�v�mұJ��O��.^��>d��=$x�+����Ԑ��KlNL���b1z�d��]\���u��a��j��]�KK^��{@�T��YT�o��$���-8e�cѨ�V�]�ˊ�̖��Z��פ��u⚢��ɄjjY�d ��d��j��p�� Imaginons que nous ayons une variable aléatoire X de densité f à support non compact, l'idée de la méthode du rejet généralisée est de trouver un nombre a, une densité g de telle sorte que f(x) soit plus petit que a fois g(x). Les exemples naturels sont les lois exponentielle (définie sur +) et Laplace ou de Cauchy (définies sur ), qu'on peut simuler par . Comme en question précédente, superposer un échantillon de grande taille simulé par cette méthode aux niveaux de la fonction \(f\) pour vérifier visuellement le bon fonctionnement de l'algorithme. Véri cation par histogramme 16 2.7. Cela signifie qu'il ya une plus grande chance qu'une hypothèse sera rejetée et une chance plus étroite que vous avez d'accepter l'hypothèse, puisque la région non-réjection . stream Trouvé à l'intérieur – Page 258Pour que la méthode soit utilisable, Y doit être facile à simuler et c ne doit pas être trop grand (rejet pas trop ... Simulation d'une gaussienne réduite 7V(0, 1) Les logiciels fournissent un générateur de la loi normale réduite. Trouvé à l'intérieur – Page 207On suppose que Y = logX vérifie Y ∼ N(m, σ2) (on dit alors que X est log-normale). ... Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0,1]. ... Simuler une loi gaussienne centrée réduite par la méthode du rejet. 4. Simuler et représenter une trajectoire \((W_t)_{0\leq t\leq 1}\) à partir de \(n=100\) points. Il est créé en 1984. Méthode du rejet 1 Soient BˆAdeux boréliens de R2 de mesure de Lebesgue finies 0 < (B) (A). Le théorème de Kolmogorov-Smirnov dit que, en notant \((B_t)_{t\geq 0}\) un pont brownien, \[\sqrt{n}\|F_n-F\|_\infty\xrightarrow[n\to\infty]{\cal L}\sup_{0\leq t\leq 1}|B_t|.\] La loi de droite est appelée loi de Kolmogorov-Smirnov. On veut simuler une v.a. Les méthodes que . Générer un chantilé lon d'une loi binomiale et ompcarer l'espérance et la moyenne empirique, ainsi que l'éart-typce et l'éart-typce empirique. La méthode de rejet repose sur cette proposition : Théorème. conçoit une loi statistique continue, appelée loi normale ou loi de Laplace-Gauss, dont la répartition est représentée par la fameuse courbe en cloche. Méthode de Box-Muller : forme cartésienne Soit ( U 1 , U 2 ) {\displaystyle (U_{1},U_{2})} un couple de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées suivant toutes deux la loi uniforme standard U ( [ 0 ; 1 ] ) {\displaystyle {\mathcal {U}}([0;1])} . Trouvé à l'intérieur – Page 423une suite de variables aléatoires ( Xk ) ken * à valeurs dans la , b [ , ayant toutes la même loi de densité de ... ( x ) . e ) Expliciter alors comment mettre en place la méthode du rejet pour simuler la loi normale centrée et réduite . Trouvé à l'intérieur – Page 24Deuxièmement le rejet peut dans certains cas être justifié statistiquement . La loi normale dit que sur un ensemble de dix mesures ou plus il y en a extrêmement peu qui diffèrent sensiblement de la moyenne . Il faudrait pouvoir dire ... Les méthodes non paramétriques ne font pas d'hypothèses sur l'appartenance de la fonction de densité recherchée \(f\) à une famille paramétrique (comme par ex. 1\end{array}\right]\hspace{1cm}\mbox{et}\hspace{1cm}\Gamma=\left[\begin{array}{ll} Loi uniforme a) Définition b) Espérance mathématique . 2.Proposer un algorithme de rejet pour g´en erer cette loi et calculer son co´ ut. En effet, pour tout y ∈ [0,1 . Le plus simple est une variante de la méthode du rejet connu sous le nom d'algorithme polaire : est un point uniformément distribué dans le carré . Trouvé à l'intérieur – Page 890Pour des populations qui ne sont pas distribuées selon une loi normale, la p-valeur exacte peut être difficile à obtenir. Néanmoins, en utilisant les mêmes méthodes de calcul, nous pouvons obtenir les p-valeurs asymptotiques. Montre plus. Document Adobe Acrobat 781.3 KB. Le Sommeil de Leo est un album de bande-dessinée de J-C. Denis publié chez Futuropolis en 2007. Trouvé à l'intérieur – Page 191Concrètement, pour déterminer la valeur critique et la zone de rejet, on fixe un risque d'erreur de 1re espèce maximal à ... La taille de l'échantillon étant grande, la loi de Student est approximée par une loi normale centrée réduite.
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